Basisartikel: Was ist Mathematik?

(von Wolfgang Seyfert)

Eigentlich kann jedes Kind diese Frage beantworten: „Mathematik ist...

ganz viel rechnen.

eine riesige Formelsammlung.

lösen von Knobelaufgaben.

eine Naturwissenschaft.

der Alptraum aller Schüler.“

Diese Antworten haben eines gemeinsam, sie beschreiben alles, nur nicht die Mathematik.

• Rechnen und die Suche nach Rechenmethoden war über Jahrtausende, in denen auch um eine handhabbare Darstellung der Zahlen gerungen wurde, ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. Mit der Entwicklung des Stellenwertsystems waren die reinen Rechenprobleme fast alle gelöst. Genauso ist es mit all den Formeln, die manchen Schüler zur Verzweiflung bringen. Eine Formel ist nur solange für den Mathematiker interessant, solange er sie noch nicht kennt oder noch nicht bewiesen hat. Danach ist wie ein Schraubenzieher, sehr nützlich, oft verlegt, aber eben nur ein Werkzeug.
• Natürlich gibt es Mathematiker, denen das Lösen von Knobelaufgaben Spaß macht. Das hat aber nichts mit ihrem Beruf zu tun, schließlich gibt es auch Chirurgen, die gerne kochen.
• Ein ganz großer Irrtum ist es, die Mathematik zu den Naturwissenschaften zu zählen. Die Mathematik beschreibt keine Naturphänomene, sie sucht keine Gesetze, die sie anschließend durch Experimente beweisen muss und sie kennt auch nicht verschiedene Stufen der „Wahrheit“ wie z. B. die Relativitätstheorie und die Newtonsche Beschreibung der Gravitation. Wenn man die Mathematik schon irgendwo einordnen möchte, dann ist sie eine Geisteswissenschaft, die unabhängigste, strengste und von den Ansätzen her auch radikalste der Geisteswissenschaften.
• Dass Mathematik der Alptraum vieler Schüler ist, lässt sich leider nicht bestreiten. Einige Gründe:
  In der Mathematik kann man nicht um den heißen Brei herum reden, entweder etwas ist richtig oder falsch, 24/8 lässt sich nicht zu 4 uminterpretieren.
  Man lernt in der Schule im Grunde nur das mathematische Handwerkszeug und hat viel zu wenig Zeit für interessante Anwendungen.
  Es ist immer noch schick, mit der eigenen Unfähigkeit in Mathematik zu prahlen. Man hat dann gleich ganz viele Freunde.

Aber was ist denn nun Mathematik?

Mathematik ist die Kunst, verschiedenen Dingen den gleichen Namen zu geben.

Man betrachte einmal die beiden folgenden Summen:

1+2+3+4+...........+999+1000

und

Den Wert der unteren Summe erkennt man auf einen Blick, während man bei der oberen verzweifelt nach einem Taschenrechner sucht. Diese „einfache“ Umordnung soll Gauß als Zehnjähriger gefunden haben. Er hat dabei eine der stärksten mathematischen „Waffen“ angewandt, er hat dem Problem eine Struktur gegeben. Unsere Welt ist voller Strukturen und Muster und die Mathematik versucht sie zu erkennen und zu verstehen. Und vor allem sucht sie nach gemeinsamen Strukturen. Ob man Matrizen oder normale Zahlen addiert, ob man zwei Drehungen in der Ebene nacheinander ausführt oder Brüche multipliziert, alle diese Operationen besitzen eine gemeinsame Grundstruktur. Auch die folgenden Gleichungen sind alle von der gleichen Struktur:

und deshalb sind alle diese Gleichungen für den Mathematiker einfach „quadratische Gleichungen“.

Dieses Suchen nach Strukturen und systemimmanenter Ordnungsschemata scheint ein Grundkonzept menschlichen Denkens zu sein, das nicht nur in der Mathematik zu beobachten ist.

Mathematik ist Freude am Denken

Die meiste Arbeit der Mathematiker besteht im Nachdenken, nachdenken mit Hilfe von Papier und Bleistift oder mit Hilfe einer Tafel und viel Kreide. Mathematik ist also eine rein geistige Tätigkeit, die aber auch eine Menge „Handarbeit“ braucht. Denn häufig findet man gangbare Lösungswege erst als Endprodukt vieler Irrungen und Wirrungen; am Ende einer langen Bleistift- oder Kreidespur. Diese Spur ist ein Abbild unseres Denkens, manchmal absolut chaotisch, ein andermal wieder unglaublich zielgerichtet und stringent. Und sie ist eine Hilfe, uns unsere eigenen Gedanken vor Augen zu führen, unsere Gedanken anderen darzulegen und natürlich, um sie festzuhalten.

Diese Gedankenspiele liefern auch dem nicht schöpferischen Mathematiker immer wieder das Gefühl von Kreativität, meist nur einen leichten Hauch, aber der reicht schon, um den Durchschnittsstudenten für die Fron des Mathematikstudiums reichlich zu belohnen. Diese Freude am Denken und das Erlebnis der eigenen Kreativität sind ein ganz wesentlicher Grund für die Liebe vieler Mathematiker zu ihrem Fach.

Mathematik ist eine Sammlung von Ideen und Lösungsstrategien

Seit über 2000 Jahren bemühen sich die Mathematiker um Beweise ihrer Theoreme und Sätze und um Methoden, diese oft genialen Ideen darzustellen und sie damit der Nachwelt zu überliefern. Geniale Ideen sind etwas ganz besonders und absolut menschliches und es gibt meiner Meinung nach bisher nur zwei Methoden, Genialität in übersichtlicher und nachvollziehbarer Form darzustellen, die Sprache der Mathematik und die Notenschrift der Musik. Natürlich gibt es viele geniale Schriftsteller, Maler und andere Künstler, sie zeigen ihre Genialität aber „nur“ in ihren Werken. Sie lassen ihre Mitmenschen nicht an ihren Ideen und Lösungsstrategien teilhaben. Die „Odyssee“ wäre, in einem völlig anderen Sprachstil natürlich, auch heute ein geniales Werk. Aber niemand würde heute den Beweis dafür, dass es beliebig viele Primzahlen gibt, als eine besondere Leistung ansehen. Diesen Beweis kann jeder Schüler nachvollziehen. Würden über Nacht alle Mathematikbücher verschwinden, wir würden wahrscheinlich wieder 2000 Jahre brauchen, um alle Ideen wieder zu finden.
Der Verlust aller Shakespeare Stücke wäre für die Menschheit unersetzlich, warum sollte der Verlust der mathematischen Idee schlimmer sein? Einmal gibt es hierfür ganz praktische Gründe. Ohne Mathematik würden wir unsere eigene Technik nicht mehr verstehen. Kein Mensch könnte den Codierungsalgorithmus für eine CD verstehen und der Flug eines Flugzeuges würde zum mystischen Wunder.

Ein zweiter Grund ist aber viel wichtiger:

Mathematik ist die Methode, mit der wir unsere Welt beschreiben können.

Der Verlust der Mathematik würde uns der Methode berauben, unsere Welt auch in ihrem Innersten zu verstehen. Seit der Mensch Bewusstsein erlangt hat, versucht er sich und seine Welt zu verstehen. Und er hat Jahrtausende benötigt, um die entsprechenden Werkzeuge zu entwickeln. Zwei ganz besondere Methoden hat er bisher gefunden, die Mathematik und die Musik. Beides sind biologisch absolut unnötige und für das Überleben der Rasse unwichtige Wissenschaften. Die Mathematik beschreibt unser Denken, die Musik unser Fühlen. Und da unser Denken ein Teil der Welt ist, beschreibt die Mathematik die Welt. Ich glaube, dass diese Verbindung der Grund dafür ist, dass die Natur den Regeln der Mathematik „gehorcht“. Es ist in Grunde unglaublich, dass so merkwürdige Objekte wie die reellen Zahlen ein unglaublich mächtiges Instrument zur Beschreibung der Natur liefern. Wieso folgen die Bahnen der Planeten und die Wege eines Lichtteilchens Gesetzen, die sich nur mit Mitteln der Mathematik beschreiben lassen? Wieso gehorchen Würfel und das Verhalten großer Menschenmengen den Gesetzen der Mathematik? Von Einstein stammt der Satz: „Wie ist es möglich, dass die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?“

Mathematik ist voller Schönheit

Diese Aussage mag für viele recht überraschend sein. Was kann an einer rein formalen Sprache, die dazu die meisten Menschen nicht ganz verstehen, schön sein? Gegenfrage: Was ist am „Kornett“ von Rilke schön, es ist doch nur Sprachspielerei. Was ist an der "Kleinen Nachtmusik" schön, sie ist im Grunde nur eine Sammlung schwarzer Punkte. Und was ist an der Pieta von Michelangelo schön, an einem weißen Marmorblock. Schönheit ist nichts absolutes, Schönheit liegt in den Sinnen des Betrachters. Auch wenn es mir weh tut, hier den „kleinen Prinzen“, leicht abgeändert, zu zitieren, diese Aussage hat viel Wahrheit. Wie es Bildersammlungen gibt, gibt es auch ein Buch, das „Buch der Beweise“, in dem die schönsten Beweise der Mathematikgeschichte gesammelt sind. Manche der bewiesenen Sätze sind absolut uninteressant, aber ihre Bewiese sind von frappierender Eleganz und Schönheit. Mathematische Schönheit möchte ich mit „unerwarteter Einfachheit“ beschreiben. Es sind Beweise, die durch eine plötzliche Änderung der Sichtweise aus einem schier unüberwindlichen Berg von Problemen einen sanft ansteigenden Weg zum Ziel machen. Ein Beispiel:

Wir alle kennen den Satz von Pythagoras:

Hier ein sehr einfacher Beweis mit Hilfe der Strahlensätze:

Der erste Schritt lässt sich beschreiben als ausschneiden, spiegeln, drehen. Dann entsteht das benachbarte Bild. Der Strahlensatz liefert

und (gleiche Konstruktion mit

dem anderen Teil des Dreiecks). Jetzt muss nur noch addiert werden.

Der Physiknobelpreisträger Dirac antwortete auf die Frage, wie er auf seine berühmte Gleichung, nach der eine ganze Physikergeneration gesucht hat, gekommen sei: „Ich habe einen starken Sinn für das Schöne, und als ich meine Gleichung gefunden hatte, wusste ich, das dies die Richtige ist.“ Wegen ihrer klaren und einfachen Schönheit.

Vielleicht kann man die Ausgangsfrage auch ganz einfach beantworten:

Mathematik sind in Kreide gefasste Träume.